Operatore autoaggiunto

In matematica, in particolare in algebra lineare, un operatore autoaggiunto è un operatore lineare su uno spazio di Hilbert che è uguale al suo aggiunto. In letteratura si usa talvolta chiamare operatore simmetrico un operatore definito in un sottospazio di uno spazio vettoriale, il cui aggiunto non è in generale simmetrico, e operatore hermitiano un operatore densamente definito in tale spazio. Nel caso di uno spazio finito-dimensionale alcuni autori utilizzano inoltre il termine operatore simmetrico per denotare un operatore autoaggiunto nel caso reale.^[1]

Per il teorema di Hellinger-Toeplitz un operatore simmetrico definito ovunque è anche limitato, e se il suo aggiunto è definito ovunque ed è limitato allora l'operatore è limitato. In particolare, se un operatore simmetrico limitato non è definito su tutto lo spazio allora può essere esteso in modo unico ad un operatore definito ovunque.

La matrice che rappresenta un operatore autoaggiunto è una hermitiana, ed in dimensione finita il teorema spettrale asserisce che ogni operatore autoaggiunto di uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare definito positivo ha una base ortonormale formata da autovettori. Equivalentemente, ogni matrice simmetrica reale è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice ortogonale i cui coefficienti sono reali.

Gli operatori autoaggiunti sono fondamentali in vari settori della matematica e della fisica, come ad esempio la geometria differenziale, l'analisi funzionale e la meccanica quantistica.